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博学广问,自律静思

【转】最短路径Dijkstra和Floyd算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。 问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2)算法步骤: a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。 b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。 c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。 执行动画过程如下图

3.算法代码实现:

const int MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中
int n=MAXNUM;
  for(int i=1; i<=n; ++i)
   {
  dist[i] = A[v0][i];
  S[i] = false; // 初始都未用过该点
  if(dist[i] == MAXINT)
  prev[i] = -1;
   else
  prev[i] = v0;
  }
  dist[v0] = 0;
  S[v0] = true;   
   for(int i=2; i<=n; i++)
   {
  int mindist = MAXINT;
  int u = v0;    // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
   for(int j=1; j<=n; ++j)
   if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
   {
   u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
    mindist = dist[j];
   }
  S[u] = true;
  for(int j=1; j<=n; j++)
   if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
   {
   if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
   {
  dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist
  prev[j] = u; //记录前驱顶点
   }
   }
  }
}

4.算法实例

先给出一个无向图 用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述

1)算法思想原理: Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在) 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。 2).算法描述: a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。 b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。 3).Floyd算法过程矩阵的计算—-十字交叉法 方法:两条线,从左上角开始计算一直到右下角 如下所示 给出矩阵,其中矩阵A是邻接矩阵,而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点 相应计算方法如下: 最后A3即为所求结果

3.算法代码实现

typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
void Floyd(MGraph g)
{
  int A[MAXV][MAXV];
  int path[MAXV][MAXV];
  int i,j,k,n=g.n;
  for(i=0;i<n;i++)
  for(j=0;j<n;j++)
  {   
A[i][j]=g.edges[i][j];
   path[i][j]=-1;
  }
  for(k=0;k<n;k++)
  {
  for(i=0;i<n;i++)
  for(j=0;j<n;j++)
  if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
  {
  A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
  path[i][j]=k;
  }
 }
}

算法时间复杂度:O(n3)